Uma esfera violeta cresceu entre os analisadores. No polo norte estava |+z⟩; no sul, |−z⟩. Estados +x e −x ocupavam pontos opostos no equador, assim como +y e −y. Cada ponto da superfície representava um estado puro possível de um sistema de dois níveis.
Lia tentou colocar uma agulha dentro da esfera. O Arquivo recusou. O vetor de Bloch codifica amplitudes e fase relativa; não é necessariamente uma seta material girando no espaço. Para um spin físico, rotações espaciais têm relação direta com a esfera, mas as estatísticas continuam quânticas.
Um estado no ângulo polar θ e azimute φ podia ser escrito como cos(θ/2)|+z⟩+e^{iφ}sen(θ/2)|−z⟩. A latitude controlava os pesos na base z; a longitude era fase relativa, invisível numa medição z isolada mas observável ao escolher outro eixo.
Medir ao longo de uma direção m quando o vetor de Bloch aponta para n fornece P(+m)=(1+n·m)/2. Pontos iguais dão certeza positiva; pontos antipodais, certeza negativa; direções perpendiculares, meio a meio. A regra reunia todos os analisadores numa geometria compacta.
Estados mistos ocupavam o interior. Um vetor mais curto representava estatísticas que não podiam ser atribuídas a um único estado puro conhecido: talvez uma mistura clássica de preparações, talvez um subsistema emaranhado cujo parceiro foi ignorado. O centro fornecia meio a meio em qualquer eixo.
Tomás alertou que decomposições de um mesmo estado misto não são únicas. O centro pode ser descrito como metade +z e metade −z ou metade +x e metade −x. A matriz densidade, não uma história particular de ignorância, reúne tudo o que as medições locais podem distinguir.
Sem agulha, a esfera tornou-se mais útil. Ela não prometia uma orientação clássica escondida; mostrava como preparar, girar e medir um qubit. Lia ainda não sabia, mas a mesma geometria reapareceria no laboratório de programação quântica como mapa das portas de um único qubit.