Lia girou o estado em torno do eixo z. A evolução era representada por exp(−iθσz/2). Depois de uma volta completa, θ=2π, o operador valia −I. O vetor físico na esfera retornava ao mesmo ponto, mas o spinor havia adquirido um sinal negativo.
Para um estado isolado, multiplicar toda a função por −1 é apenas uma fase global e não muda probabilidades. Nenhum detector que receba somente esse estado distingue |ψ⟩ de −|ψ⟩. Por isso dizer que ‘o elétron só volta depois de 720 graus’ sem qualificação transforma uma sutileza em truque.
A diferença torna-se observável quando apenas um ramo de uma superposição sofre a rotação. Ao recombinar o ramo girado com um ramo de referência, o sinal relativo desloca a interferência. A fase global de um caminho vira fase relativa entre dois caminhos.
Em 1975, Helmut Rauch e colaboradores e, independentemente, Samuel Werner e colegas usaram interferometria de nêutrons para demonstrar a simetria de 4π dos spinors. Campos magnéticos controlavam a precessão em um braço, e as contagens oscilavam ao recombinar as amplitudes.
Depois de 4π, o operador retornava a +I. A necessidade de duas voltas pertence à representação de rotações para spin seminteiro. Não significa que uma pequena esfera tenha dado fisicamente duas cambalhotas escondidas; significa que os estados transformam-se segundo a estrutura SU(2), que recobre duas vezes as rotações ordinárias SO(3).
Tomás traçou uma fita imaginária presa ao aparelho. O truque visual da fita que precisa de duas voltas para desenrolar sugeria a topologia, mas tinha limite: fita é objeto clássico no espaço, enquanto o sinal do spinor aparece em amplitudes complexas e só é lido por interferência relativa.
Lia completou a segunda volta. A bússola quebrada não tinha apenas dois resultados; possuía uma geometria de rotações que o espaço clássico de setas não capturava sozinho. O sinal invisível tornara-se mensurável quando ganhou um caminho com o qual interferir.