Uma caixa de comprimento L apareceu no chão. Suas paredes eram infinitamente altas — uma idealização, não um material construível. Dentro, o potencial era zero; fora, nenhum estado tinha acesso. A função de onda precisava desaparecer nas duas fronteiras.
Lia tentou colocar uma senoide com comprimento arbitrário. Quase todas chegavam à parede com valor diferente de zero e eram recusadas. Apenas ondas que acomodavam um número inteiro de meias-ondulações dentro da caixa satisfaziam φ(0)=φ(L)=0. Seus números de onda eram kₙ=nπ/L.
Como a energia cinética valia ħ²k²/2m, as energias permitidas tornavam-se Eₙ=n²π²ħ²/(2mL²), com n=1,2,3 e assim por diante. Não havia estado n=0 com função identicamente nula, porque uma função nula não representa um estado normalizado. A energia mínima permanecia acima de zero.
A caixa mostrava quantização sem órbitas e sem saltos postulados à mão. A equação era contínua no espaço, mas as fronteiras selecionavam um conjunto discreto de modos. O mesmo princípio geral apareceria em vibrações clássicas, embora o significado quântico das amplitudes e dos resultados fosse diferente.
Tomás encolheu L. Os níveis se afastaram como notas de uma corda encurtada. Aumentar a massa aproximou-os. A escala obedecia a 1/(mL²). Em objetos macroscópicos e caixas grandes, os níveis ficam tão densos que um espectro quase contínuo pode aproximar o comportamento clássico.
As paredes infinitas eram úteis porque simplificavam tudo, mas quebravam fisicamente. Barreiras reais têm altura e espessura finitas; a função penetra nelas e pode atravessar. As condições de contorno continuam importantes, porém soluções exponenciais e tunelamento substituem o corte perfeito do modelo ideal.
Lia marcou os nós de cada modo. A quantização já não parecia uma grade colocada sobre a energia. Parecia a resposta de uma forma global obrigada a caber num ambiente. O estado precisava satisfazer a lei em cada ponto e as fronteiras de uma só vez; os níveis eram o preço dessa consistência.