O Arquivo colocou Lia diante de duas estantes. Na primeira, os vetores da base representavam posições. Na segunda, representavam momentos. O mesmo estado |ψ⟩ podia ser decomposto nas duas, mas os coeficientes e as distribuições obtidas pela regra de Born não eram iguais.
Uma medição não pergunta genericamente ‘qual é o estado?’. Escolhe um observável e seus resultados possíveis. Se o observável A tem autovetores |aₙ⟩, a amplitude para o resultado aₙ é ⟨aₙ|ψ⟩ e a probabilidade é seu módulo quadrado.
Lia preparou um autovetor de posição aproximada. Na base de posição, a distribuição era estreita. Na base de momento, era larga. Preparar uma nota definida de uma estante geralmente exige uma superposição de muitas notas da outra. A transformação entre bases preservava a norma, mas redistribuía amplitudes.
Tomás mostrou uma base girada para um qubit. Um estado que dava um resultado com certeza na base computacional podia fornecer meio a meio numa base complementar. Isso não significava que o estado mudou antes da pergunta; significava que coeficientes são coordenadas relativas à base escolhida.
As probabilidades não pertenciam isoladamente ao estado nem ao aparelho. Pertenciam à relação entre o estado preparado e a pergunta física representada pelo observável. Mudar a pergunta sem mudar o estado podia mudar toda a distribuição prevista.
Se um resultado é degenerado, vários vetores podem compartilhar o mesmo autovalor e a probabilidade deve somar o peso de todo o subespaço correspondente. Medições mais gerais usam operadores positivos, mas a geometria permanece: projetar o estado sobre a estrutura associada aos resultados e obter pesos quadráticos.
Lia fechou as duas estantes. A regra de Born não era apenas uma função de posição. Era uma regra de projeção em qualquer base de resultados físicos. O mapa ψ ganhava legenda somente depois que alguém especificava qual pergunta o detector estava construído para fazer.