Tomás abriu o Hamiltoniano como se fosse uma caixa de relógio. Dentro havia duas engrenagens. A primeira era marcada T, energia cinética. A segunda, V, energia potencial. Para uma partícula não relativística, sem spin e sujeita a um potencial local, a caixa podia ser escrita Ĥ=−(ħ²/2m)∇²+V.
Na mecânica clássica, a energia cinética é p²/2m. Na representação de posição, o momento torna-se o operador −iħ∇. Aplicá-lo duas vezes produz −ħ²∇², o Laplaciano. Curvatura espacial da função de onda ocupa então o lugar que o quadrado do momento ocupava na fórmula clássica.
Lia desenhou uma função quase plana e outra muito ondulada. A segunda mudava rapidamente no espaço e carregava componentes de momento maiores. O termo cinético detectava essa curvatura. A massa aparecia no denominador: para a mesma forma espacial, um objeto mais massivo tinha outra escala de resposta.
O potencial V(x,t) codificava interações externas na descrição simples. Uma região de potencial alto alterava a fase e a forma do estado; barreiras finitas podiam permitir amplitude além do trecho classicamente proibido. Ainda não era hora de atravessar túneis, mas a possibilidade já estava escrita na equação.
A caixa não era universal na forma de uma partícula. Em três dimensões, entram três coordenadas. Para muitas partículas, ψ depende das coordenadas conjuntas e o Hamiltoniano inclui interações entre elas. Campos magnéticos, spin e relatividade mudam os termos. A fórmula elementar é um caso fértil, não a definição completa de toda física quântica.
Tomás escolheu V=0 e uma onda plana ψ proporcional a exp[i(kx−ωt)]. Ao aplicar o Hamiltoniano, a derivada espacial devolveu ħ²k²/2m vezes a própria onda. A equação temporal exigiu ħω=ħ²k²/2m, a relação de energia de uma partícula livre não relativística.
As engrenagens se fecharam. Lia percebeu que o Hamiltoniano não dizia apenas quanta energia havia. Dizia como cada forma possível reagia ao tempo. Alterar o potencial era alterar a gramática da evolução; resolver a equação era descobrir quais estados essa gramática permitia e como suas fases se moviam.